Question

如图，BD是∠ABC的角平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别M，N。试证明：PM=PN.

Answer 1

AB=BC,BD=BD,∠ABD=∠CBD(bd是角平分线)由这三个条件可得：三角形ABD全等于三角形CBD，由此得出∠ADB=∠CDB,然后得到∠ADP=∠CDP,又因为PM，PN分别垂直AD,DC，由直角三角形知识可得∠MPD=∠NPD，又DP=DP，可得三角形DMP全等于三角形DNP（AAS定理），可知PM=PN

Answer 2

因为BD是∠ABC的角平分线，所以角ABD=角CBD
在三角形ABD和三角形CBD中：
AB=BC,角ABD=角CBD,BD=BD
所以三角形ABD全等于三角形CBD，
所以，角BAD=角BCD,
所以，角ABD+角BAD=角CBD+角BCD，即角MDP=角NDP,
因为，PM⊥AD，PN⊥CD，
所以PM=PN.

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