Question

已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根； （2）若关于x

已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数y2=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式．

Answer 1

解：（1）分两种情况：

当m=0时，原方程化为3x-3=0，解得x=1，

∴当m=0，原方程有实数根．

当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，

∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0．

∴原方程有两个实数根．

综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根．

（2）①∵关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，

∴3（m-1）=0．∴m=1．∴抛物线的解析式为y1=x2-1

②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，

∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）．

（3）由②知，当x=1时，y1=y2=0．∴y1、y2的图象都经过（1，0）．

∵对于x的同一个值，y1≥y3≥y2，

∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1，0）．

又∵y3=ax2+bx+c经过（-5，0），∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a．

设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）．

∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，

∴y3-y2≥0，

∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0．

又根据y1、y2的图象可得 a＞0，

∴y(min)=[4a(2-5a)-(4a-2)]/4a≥0

∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0．∴（3a-1）2≤0．

而（3a-1）2≥0．只有3a-1=0，解得a=1/3．

∴抛物线的解析式为y3=1/3x^2+4/3x-5/3.

Answer 2

（1）(3(m-1))^2-4m(2m-3)=(m-3)^2>0 所以方程总有实数根
（2）根据题意对称轴为x=0 所以 3(m-1)/2m=0 m=1
所以 y1=x^2-1
证明 因为 y1-y2=x^2-1-(2x-2)=(x-1)^2>0 所以y1>y2均成立