Question

[x]+[x^2]=[x^3] 解高斯函数方程

Answer 1

首先，当x＜0时，[x]＜0，[x²]＞0，[x³]＜0，而且，x,x²,x³三者的绝对值肯定是三次方式子最大，显然，且，左边是一正一负，右边是幅值最大的负数，故而可知在x＜0区间，原方程是不会有根的。
而当0≤x＜0时，x，x²，x³都是大于0小于1的，因此，三者的高斯函数都是0，满足题目要求，是解的范围。
同样的，根据幅值来分析，方程左右的差值会逐渐增大，且当x=2时，方程右边已经比左边大了，因此另外如果有解，必然在是在区间(1,2)上。
另外，√2，√3∈(1,2)，*√2，*√3，*√4，*√5，*√6，*√7∈(1,2) *√表示开3次方，这几个数的大小顺序为1＜*√2＜√2＜*√3＜*√4＜*√5＜√3＜*√6＜*√7＜2，这样就把(1,2)这个区间分成了9段。
1＜*√2→[x]=1,[x²]=1,[x³]=1
*√2＜√2→[x]=1,[x²]=1,[x³]=2
√2＜*√3→[x]=1,[x²]=2,[x³]=2
*√3＜*√4→[x]=1,[x²]=2,[x³]=3
*√4＜*√5→[x]=1,[x²]=2,[x³]=4
*√5＜√3→[x]=1,[x²]=2,[x³]=5
√3＜*√6→[x]=1,[x²]=3,[x³]=5
*√6＜*√7→[x]=1,[x²]=3,[x³]=6
*√7＜2→[x]=1,[x²]=3,[x³]=7
由此可见，上面的9个区段中，只有[x]=1,[x²]=1,[x³]=2和[x]=1,[x²]=2,[x³]=3这两种情况满足题目等式要求，因此x的范围为[*√2,√2)和[*√3,*√4)，再次重申*√是开三次方，再加上之前的[0,1)区间，可得，原方程的解为
[0,1)∪[*√2,√2)∪[*√3,*√4)