Question

刘老师请问这题怎么解 线性代数

Answer 1

这种题需要利用递归来做

行列式按第一行展开
第一项的代数余子式恰好为D(n-1)，而第二项的代数余子式为-1*D(n-2)
所以有
Dn=(a+b)D(n-1)-ab*D(n-2)
Dn-aD(n-1)=b[D(n-1)-aD(n-2)]

这样我们发现Dn-aD(n-1)是一个公比为b的等比数列
而D2-a*D1=a²+ab+b²-a*(a+b)=b²
所以Dn-aD(n-1)=b^n

所以Dn=Dn-aD(n-1)+a(D(n-1)-aD(n-2))+...+a^(n-2)(D(2)-aD(1))+a^(n-1)D1
=b^n+a*b^(n-1)+...+a^(n-2)*b²+a^(n-1)*(a+b)

当a=b的时候，可以整理为(n+1)a^n（题目里已经说过a≠b了，所以这句话可以无视）
当a≠b的时候，可以整理为(b^(n+1)-a^(n+1))/(b-a)

Answer 2

楼上的做法没问题, 作一点改进.

先用展开定理得到 Dn - aD(n-1) = b^n
因为a,b 的对称性, 也有 Dn - bD(n-1) = a^n

两个等式消去D(n-1) 得 (a-b)Dn = a^(n+1)-b^(n+1)
由 a≠b 即得 Dn = [a^(n+1) - b^(n+1)] / (a-b).