Question

计算曲面积分∫∫∑［dS/Z］,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0＜h＜a)截出的顶部

Answer 1

球面方程写为：z=√(a²-x²-y²)

∂z/∂x=-x/√(a²-x²-y²)，∂z/∂y=-y/√(a²-x²-y²)

dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy

=√[a²/(a²-x²-y²)] dxdy

=a/√(a²-x²-y²) dxdy

则∫∫ (1/z) dS

=∫∫ 1/(a²-x²-y²) dxdy

用极坐标

=∫∫ r/(a²-r²) drdθ

=∫[0→2π]dθ∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr

=2π∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr

=π∫[0→√(a²-h²)] 1/(a²-r²) d(r²)

=-2πln|a²-r²| [0→√(a²-h²)]

=2π(lna²-lnh²)

=4πln(a/h)

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

曲面积分∫∫∑［dS/Z］，其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0＜h＜a)截出的顶部技巧：在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。

对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS，例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分。

技巧：

1、利用对称性及重心公式简化计算。

2、利用高斯公式：注意公式使用条件和添加辅助面的技巧，（辅助面一般取平行坐标面的平面）。

3、两类曲面积分的转化。

Answer 3

球面方程写为：z=√(a²-x²-y²)
∂z/∂x=-x/√(a²-x²-y²)，∂z/∂y=-y/√(a²-x²-y²)
dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy
=√[a²/(a²-x²-y²)] dxdy
=a/√(a²-x²-y²) dxdy

则∫∫ (1/z) dS
=∫∫ 1/(a²-x²-y²) dxdy
用极坐标
=∫∫ r/(a²-r²) drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr
=2π∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr
=π∫[0→√(a²-h²)] 1/(a²-r²) d(r²)
=-2πln|a²-r²| [0→√(a²-h²)]
=2π(lna²-lnh²)
=4πln(a/h)

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