Question

设x1>-6,xn+1=√xn+6,证明{xn}极限存在

Answer 1

1、当x1=3时，显然该数列xn=3，极限存在；

2、当x1>3时，用数学归纳法来证明数列单调有界
x2=√(x1+6)>√(3+6)=3
假设xk>3，下证x(k+1)>3
x(k+1)=√(xk+6)>√(3+6)=3
因此xn>3，数列有下界；
下面证明单调性
xn-x(n+1)=xn-√(xn+6)
分子有理化
=(xn²-xn-6)/[xn+√(xn+6)]
=(xn-3)(xn+2)/[xn+√(xn+6)]
由于刚才证明了xn>3，可见上式为正，因此xn>x(n+1)，数列是单减有下界的，因此数列有极限。

3、当-6<x1<3时，类似上面可以证明，数列是单增有上界的。

综上，数列xn极限存在。

补充：计算该极限，设imxn=a
x(n+1)=√(xn+6)两边取极限得：a=√(a+6)，两边平方得：a²=a+6
解方程得：a=3，a=-2（舍），因此极限为3

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