Question

如图，正方形ABCD的边长为a，点P.Q.R.S分别在AB.BC.CD.DA上，且BQ=2AP.CR=3AP.

如图，正方形ABCD的边长为a，点P.Q.R.S分别在AB.BC.CD.DA上，且BQ=2AP.CR=3AP.DS=4AP、问AP长多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？

Answer 1

解：设 AP=x
则BQ=2x CR=3x DS=4x
∴PQRS的面积为 S=a^2-[2x(a-x)/2+3x(a-2x)/2+4x(a-3x)/2]
=10x^2-4.5ax+a^2
=10(x-0.225a)^2+(79a^2)/160

∴当 x=0.225a时 有最小值 (79a^2)/160

Answer 2

设AP=x
AS=AD-DS=a-4x
DR=a-CR=a-3x
CQ=a-BQ=a-2x
BP=a-x
PQRS面积=a^2 - 1/2 [x(a-4x)+4x*(a-3x)+3x(a-2x)+2x(a-x)]
=a^2 - 1/2 (ax-4x^2 + 4ax-12x^2 +3ax-6x^2+2ax-2x^2)
=a^2 - 1/2 (10ax-24x^2) = a^2 - 5ax + 12x^2

当x= 5a/24时，面积最小23a^2/48