Question

求∫√x arctanxdx的导数，上限为1，下限为0

Answer 1

∫ √x arctanx dx
=(2/3)∫ arctanx d(x^3/2)
=(2/3)x^(3/2)arctanx|[0→1] - (2/3)∫ x^(3/2)/(1+x²) dx
=π/6 - (2/3)∫ x^(3/2)/(1+x²) dx （1）

下面计算
∫ x^(3/2)/(1+x²) dx
令√x=u，则x=u²，dx=2udu
=2∫ u^4/(1+u^4) du
=2∫ (u^4+1-1)/(1+u^4) du
=2∫ 1 du - 2∫ 1/(1+u^4) du 下面技巧比较高
=2u - ∫ (u²+1-u²+1)/(1+u^4) du
=2u - ∫ (u²+1)/(1+u^4) du + ∫ (u²-1)/(1+u^4) du
分子分母同除以u²
=2u - ∫ (1+1/u²)/(u²+1/u²) du + ∫ (1-1/u²)/(u²+1/u²) du
分子放到微分之后
=2u - ∫ 1/(u²+1/u²) d(u-1/u) + ∫ 1/(u²+1/u²) d(u+1/u)
=2u - ∫ 1/(u²+1/u²-2+2) d(u-1/u) + ∫ 1/(u²+1/u²+2-2) d(u+1/u)
=2u - ∫ 1/[(u-1/u)²+2] d(u-1/u) + ∫ 1/[(u+1/u)²-2] d(u+1/u)
=2u - (√2/2)arctan[(u-1/u)/√2] + (√2/4)ln|(u+1/u-√2)/(u+1/u+√2)|
=2u - (√2/2)arctan[(u-1/u)/√2] + (√2/4)ln|(u²+1-√2u)/(u²+1+√2u)| |[0→1]
=2 - (√2/4)ln|(2-√2)/(2+√2)| - √2π/4

下面将此式代入（1）即可

你确定题没错吗？好麻烦的题，请采纳。

追问

非常感谢您，谢谢。

Answer 2

太麻烦了。