Question

已知P：所有x∈R，2x>m(x2+1),q：任意的x0∈R且p∧q为真，求实数m的取值范围

要步骤

Answer 1

p∩q为真，即不等式2x>m(x^2+1)有实数解
不等式整理可得 mx^2-2x+m<0
当m=0时， 不等式为-2x<0，实数解为x>0
当m>0时，不等式左边为开口向上抛物线，欲使不等式有实数解
需使△=4-4m^2>0，解得0<m<1
当m<0时，不等式左边为开口向下抛物线，不等式总有实数解
解为抛物线与x轴交点之外的部分
∴m的取值范围为m<1

Answer 2

若p∧q为真,
则 对於x的所有实数值, 不等式 mx² - 2x + m < 0 恒成立.
即不等式 mx² - 2x + m < 0的解集为 R

设 y = mx² - 2x + m
(1) 当 m > 0时,
函数 为 开口向上的抛物线, 要令不等式 mx² - 2x + m < 0 恒成立
即不等式总有实数解
从图像上可看出, x的值不能满足此要求
(因为总会有些x的值, 使不等式 mx² - 2x + m > 0)

所以 m > 0时不合

(2) 当 m < 0时,
函数 为 开口向下的抛物线, 要令不等式 mx² - 2x + m < 0 恒成立
从图像上可看出, 只要令 △ < 0, 就能满足.
(因为抛物线与 x轴 没有交点)

△ < 0, 即 (-2)² - 4m*m < 0
4 - 4m² < 0
m² > 1
得 m < -1 或 m > 1

所以 m < -1

(3) 当 m = 0时,
从不等式中, 得 0 - 2x + 0 < 0
x > 0
可知 不能使 mx² - 2x + m < 0 恒成立

所以 m = 0时不合

综合(1) - (3), 解为 m < -1