Question

已知函数f(x)=-x²+2x+3。(1)利用定义证明f(x)在(－∞,1 ]上为增函数;

(2)求f(x)在[﹣4，﹣2]上的最大值与最小值。
过程，过程

Answer 1

（1）证明：设x1，x2∈(－∞,1 ]，且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(-x1² + 2x1 + 3)-(-x2² + 2x2 + 3)=x2²-x1²+ 2(x1-x2)=(x1-x2)[2-(x1+x2)]
∵ x1<x2≤1，∴ x1-x2<0，x1+x2<2,即2-(x1+x2)>0
即 (x1-x2)[2-(x1+x2)]<0
于是 f(x1)-f(x2)<0 f(x1)<f(x2)
从而 f(x)在(－∞,1 ]上为增函数.
（2）由（1）可知f(x)在(－∞,1 ]上是增函数，-2<1
因而f(x)在[﹣4，﹣2]上是增函数
即f(x)在[﹣4，﹣2]上的最大值在-2点取得，最小值在-4点取得
∴ 最小值为f(-4)=-16-8+3=-21
最大值为f(-2)=-4-4+3=-5

Answer 2

1、证明：设 x1<x2≤1 可得：
f(x2)-f(x1)
=-x2²+2x2+3+x1²-2x1-3
=(x1-x2)(x1+x2)-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
因：x1<x2 可得：x1-x2<0
x1<x2≤1 可得：x1+x2<1+1<2 即：x1+x2-2<0
因此有：(x1-x2)(x1+x2-2)>0
所以可得：f(x2)-f(x1)>0
即：f(x2)>f(x1) 得证!

2、f(x)=-x²+2x+3
=-(x-1)²+4
可得当：x≤1 时单调递增，所以当x∈[-4,-2]时有：
当x=-2时有最大值为：-5
当x=-4时有最小值为：-21

Answer 3

f(x)=(x+1)^2+2
显然f(x)在（-∞，-1]上为减函数，在[-1,1]上为增函数
(2)f(x)在[-4,-2]上递减，所以f(-4)=11为最大值，f(-2)=3为最小值