Question

当n属于整数。证明n的3次方/3－n的平方/2＋n/6的值是整数。

（n的3次方/3）－（n的平方/2）＋n/6的值是整数。

Answer 1

解答：（2n³-3n²+n）/6=(n)(2n-1)(n-1)/6

用数学归纳法证明：

证明：

（1）当n=1时，原式=1×1×0/6=0是整数。

（2）当n=2时，原式=2×3×1/6=1是整数。

（3）假设n=k时等式成立，即f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数。

（4）当 n=k+1时：f(k＋1)=(k+1)[2(k+1)-1](k+1-1)/6。

因为f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数，k²也是整数。

所以f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+k²亦是整数。

综上当n属于整数时（2n³-3n²+n）/6的值是整数成立。

整除特征

1. 若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。

2. 若一个数的所有数位上的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

3. 若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

4. 若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

5. 若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

Answer 2

解答：（2n³-3n²+n）/6=(n)(2n-1)(n-1)/6
用数学归纳法证明：
证明：
（1）当n=1时，原式=1×1×0/6=0是整数
（2）当n=2时，原式=2×3×1/6=1是整数
（3）假设n=k时等式成立，即f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数
（4）当 n=k+1时，
f(k＋1)=(k+1)[2(k+1)-1](k+1-1)/6
f(k＋1)=(k+1)(2k+1)(k)/6
f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+6k²/6
f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+k²
因为f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数，k²也是整数
所以f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+k²亦是整数
即f(k＋1)=(k+1)[2(k+1)-1](k+1-1)/6亦是整数
综上当n属于整数时（2n³-3n²+n）/6的值是整数成立。

Answer 3

先通分。（2n³-3n²+n）/6=(n)(2n-1)(n-1)/6
因为n是整数，所以分子是整数。只需证明他是6的倍数。将n=1带入是6的倍数。所以剩下的数一定成立

Answer 4

原式=n)(2n-1)(n-1)/6，所以接下来的墓地就是为了得到这么一个式子

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

而一开始的那个结论只需要即是1^2+2^2+3^2+...+（n-1）^2=n)(2n-1)(n-1)/6
其中n-1》1的即N》2，不过当n=1,0的时候可以直接带入，结果也是整数，而当n<0的时候可以
参照以上步骤得到同解
因为都是整数的平方和，所以也必然是整数
如上得证
最后希望我的建议能对你起到一定的帮助，祝你身体健康，万事如意。