Question

求积分∫1/(1+x³）dx详细求解过程

结果我知道，很复杂。是1/3㏑(1+x)-1/6㏑(1-x+x²)+1/根号3arctan（2x-1）/根号3+π/6根号3

Answer 1

用待定系数法

1/(1+x³）

=1/[(1+x)(1-x+x^2)]

=A/(1+x)+(Bx+C)/(1-x+x^2)

=[A(1-x+x^2)+(Bx+C)(1+x)]/[(1+x)(1-x+x^2)]

=[(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C)]/[(1+x)(1-x+x^2)]

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

求积分∫1/(1+x³)dx详细求解过程
解：设1/(1+x³）=1/(1+x)(1-x+x²)=A/(1+x)-(Bx+C)/(1-x+x²)=[A(1-x+x²)-(Bx+C)(1+x)]/(1+x³)
=[Ax²-Ax+A-(Bx+C+Bx²+Cx)]/(1+x³)=[(A-B )x²-(A+B+C)x+A-C]/(1+x³)
于是有(A-B)x²-(A+B+C)x+A-C=1，这是一个恒等式，故得：
A-B=0..............(1)
A+B+C=0........(2)
A-C=1.............(3)
(1)+(2)得2A+C=0.........(4)
由(3)得C=A-1，代入(4)得3A-1=0,故A=1/3；B=1/3；C=-2/3.
∴∫1/(1+x³)dx=∫dx/[3(1+x)]-∫(x-2)/[3(x²-x+1)]dx=(1/3)[ln(1+x)-∫(x-2)dx/(x²-x+1)]
=(1/3){ln(1+x)-(1/2)∫d(x²-x+1)/(x²-x+1)-(3/2)∫dx/(x²-x+1)]}
=(1/3)ln(1+x)-(1/6)ln(x²-x+1)-(1/2)∫dx/(x²-x+1)
=(1/3)ln(1+x)-(1/6)ln(x²-x+1)-(1/2)∫d(x-1/2)/[(x-1/2)²+3/4]
=(1/3)ln(1+x)-(1/6)ln(x²-x+1)-(1/2)∫d(x-1/2)/{(3/4)[(4/3)(x-1/2)²+1]
=(1/3)ln(1+x)-(1/6)ln(x²-x+1)-(2/3)(√3/2)∫d[(2/√3)(x-1/2)]/{[(2/√3)(x-1/2)]²+1}
=(1/3)ln(1+x)-(1/6)ln(x²-x+1)-[(√3)/3]arctan[(2/√3)(x-1/2)]+C

Answer 3

这个题目的关键在于被积分函数如何变形
用待定系数法
1/(1+x³）
=1/[(1+x)(1-x+x^2)]
=A/(1+x)+(Bx+C)/(1-x+x^2)
=[A(1-x+x^2)+(Bx+C)(1+x)]/[(1+x)(1-x+x^2)]
=[(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C)]/[(1+x)(1-x+x^2)]
比较系数得
A+B=0
-A+B+C=0
A+C=1
解得A=1/3
B=-1/3,C=2/3
1/(1+x^3)=1/3*1/(1+x)+(-x/3+2/3)/(1-x+x^2)
=1/3*1/(1+x)-1/3*x/(1-x+x^2)+2/3*1/(1-x+x^2)
化成这三个，分别积分就可以了

Answer 4

整理，1/(1+x³)=1/3(x+1)-(x-2)/3(x²-x+1)=1/3(x+1)-(2x-1)/6(x²-x+1)-1/2(x²-x+1)
第一部分直接积分
第二部分，d(x²-x+1)=(2x-1)dx，换元法
第三部分，x²-x+1=(x-1/2)²+3/4，换元后属于m/(x²+n)类型，用三角函数法

整理有理式有一套规范的操作方法，具体可以参考有理式积分

Answer 5