Question

z^2sin(1/(z-1))在z-1处的展开，是复变函数内容的

留数什么定理啊？你详细点啊？

Answer 1

由于是在z-1处展开，所以先要把所有的z变成z-1
z²sin(1/(z-1))
=(z²-2z+1+2z-2+1)sin(1/(z-1))
=[(z-1)²+2(z-1)+1]sin(1/(z-1))
=(z-1)²sin(1/(z-1))+2(z-1)sin(1/(z-1))+sin(1/(z-1)) （1）

下面展开sin(1/(z-1))
sin(1/(z-1))=Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]

代入（1）式得：（为方便这里观看，我一项一项做）
(z-1)²sin(1/(z-1))
=(z-1)²Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]
=Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n-1)]
=(z-1)+Σ{n=1→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n-1)]
=(z-1)+Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+3)!(z-1)^(2n+1)]

2(z-1)sin(1/(z-1))
=2(z-1)Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]
=Σ{n=0→+∞} 2/[(2n+1)!(z-1)^(2n)]

这样得原式=(z-1)+Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+3)!(z-1)^(2n+1)]
+Σ{n=0→+∞} 2/[(2n+1)!(z-1)^(2n)]
+Σ{n=0→+∞} 1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]
然后自己把这三个求和合并成一个，这里打太不方便了。

Answer 2

是展开成洛朗级数吗？用留数定理啊~