Question

设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.

Answer 1

不动点法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0
f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知当x＞1时f'（x）＞0，f（x）为增函数
令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不动点为x=1，x＞1时f（x）＜x
x1=2＞1，于是f（1）＜f（x1）＜x1，
得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）＜x2，即1＜x3＜x2
于是可得1＜x（n+1）＜xn，得xn递减且有下限，即{xn}收敛。于是xn极限存在
令A为xn极限
有A=（1/2）[A+（1/A）]且A≥1
得A=1

Answer 2

先用数归证1<xn<=2
n=1显然成立
假设n=k成立
则1<xk<=2
n=k+1
x(k+1)=1/2(xk+1/xk)
因为1<xk<=2
1/2<1/xk<=1
1<3/2=(1+1/2)/2<x(k+1)=1/2(xk+1/xk)<=1/2(2+1)=3/2<2
所以对于n=k+1也成立 1<x(k+1)<=2
所以xn是有界数列
下证其单调减
xn+1-xn
=1/2(xn+1/xn)-xn
=1/2(xn+1/xn-2xn)
=1/2(1/xn-xn)
=(1-xn^2)/(2xn)<0,因为刚证过xn>1
所以xn是一单调有界数列
所以极限必存在（单调有界必有极限）

令n->∞
极限x=limn->∞ xn满足
x=1/2(x+1/x)
2x=x+1/x
x=1/x
x^2=1
x=1(舍去负值，因为xn>1)
所以极限为1

Answer 3

Xn显然>0
由均值不等式
X(n+1)>=1
X(n+1)-Xn=1/2(1/xn-xn)<=0
Xn递减且有下界，收敛
设limXn=a>0
由Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)
a=1/2(a+1/a)
=>a=1
希望对你有帮助！