Question

如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°，求证：PB＋PC＝PA。

如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°，求证：PB＋PC＝PA。 (作辅助线，延长PC至E，使CE＝BP的解法)

Answer 1

证明:延长PC至E,使CE=BP,连接AE,则CE+PC=PB+PC.
∵∠ABP+∠ACP=180º;∠ACE+∠ACP=180º.
∴∠ABP=∠ACE.(同角的补角相等)
又CE=BP;AC=AB.(已知)
∴⊿ACE≌⊿ABP(SAS),∠CAE=∠BAP.
∴∠PAE=∠BAC=60º;AE=AP.
故⊿APE为等边三角形,PB+PC=CE+PC=PE=PA.

Answer 2

作辅助线，延长PC至E，使CE＝BP 连接AE. 因为 ∠ABP＋∠ACP＝180°
∠ACE= 180°- ∠ACP＝1∠ABP, AB = AC, BP = CE,
所以 三角形ABP全等于三角形ACE ==》 AP = AE,
∠PAE = ∠PAC+∠CAE=∠PAC+∠BAP=60°, 所以三角形APE是等边三角形，
所以 AP=PE=PC+CE=PC+BP