Question

把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?

Answer 1

这个问题我知道。 有一个引理：一个整数除以9的余数恒等于这个整数每一位的数字之和相加再除以9的余数。 而且这个引理可以加强，就是你不必要每一个数字写下来，连续的数字也是可以的。
拿这个问题举例 原数mod 9=（1+2+...+2005）mod 9 = 2006 *2005/2 mod 9 =1003*2005 mod 9 = 4*7 mod 9=28 mod 9 =1 mod 9 所以余数是1。 这样的竞赛题我很擅长哦~不懂可以再追问或者hi我

追问

不对吧

追答

我可以有研究过的哦 你看20042005这个数字 你每个数字之和加起来是13 除 9 余数是4
或者你可以2004+2005=4009 加起来也是13 除以 9 余数是4 。 你硬算一下 这个数的余数确实是4

同样的 你可以举例19981999，这个引理是对的哦。你是不是希望我证明一下呢
证：
设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字，再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]，求证：N≡M(mod 9).
证明：
∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
又∵ 1≡1(mod 9),
10≡1(mod 9),
10^2≡1(mod 9),
…
10^n≡1(mod 9).
上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
即 N≡M(mod 9)，以上性质得证。
这里引理的加强没有证明，但是你看在中间10的倍数这里 没有说a[n]一定要是一个个位数，所以我后面说的引理的稍微加强，在此也可以容易证明。 这个真的是这种类型的题目的正统做法= = 不骗你的 -, -

追问

1003*2005 mod 9 = 4*7 mod 9这一步是怎么来的。
mod9是什么意思？
是4/9和7/9的余数吗

追答

mod 9 是前面的数字对9取模的意思。这一步我原来加了说明了 但是百度没给我显示上去。
这里就是再用一次引理，使得计算方便 1003 每位加起来是4；2005每位加起来是 7 ；这里用到了模里面的基本性质，就是两个相乘的数字取模，可以先取模 再相乘，结果等于先相乘再取模

Answer 2

余1，理由如下：
为了不影响和的结果，将1写成0001，15写成0015，127写成0127，这样就都是“四位数了。
（1）个位：由1，2，3.。。。9，0，1.。。。
每10个一循环，和是45，能被9整除。
到2000时，个位，十位，佰为都能被9整除。
（2)千位：有1000个1，除以9余1，
（3)最后是2+0+0+0+2+0+0+1+。。。+2+0+0+5=27，也能被9整除，
所以余数是1.