Question

以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，

以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6根号2，那么AC的长等于(　　 )
初中数学试题

Answer 1

在AC上取一点G，使CG＝AB＝4，连接OG，如图：

∵∠ABO＝90°－∠AHB

    ∠OCG＝90°－∠OHC

又∠AHB＝∠OHC(对顶角相等)

∴∠ABO＝∠OCG

∵OB＝OC，AB＝CG

∴△OAB≌△OCG(SAS)

∴OG＝OA＝6√2，∠BOA＝∠COG

∵∠COG＋∠GOH＝90°

∴∠BOA＋∠GOH＝90°

即∠AOG＝90°

∴△AOG是等腰直角三角形

由勾股定理得：

AG＝√(OA²＋OG²)＝12

∴AC＝AG＋GC＝12＋4＝16

Answer 2

AC=4√2.理由如下：
连正方形BCEF两条对角线，交于O，
连AO，连OB交AC于D，可知∠BAC=∠BOC=90°，
∴B，A，O，C四点共圆。
∵∠BOC=45°，∴∠BAO=135°，

由余弦定理：
BO²=（6√2）²+4²-2×6√2×4×cos135°
=72+16+48
=136
BO=2√34
BC=2√34×√2=4√17
AC=√[（4√17）²-4²]=16.

Answer 3

OB²＝4²+﹙6√2﹚²+2×4×6√2/√2＝136﹙余弦定理﹚
BC²＝2×136＝272
AC²＝BC²-AB²＝272-16＝256 ﹙勾股定理﹚ AC＝16