Question

已知二次函数y=x²-mx+m-1 ①求证：不论m取何实数，函数的图像都与x轴有交点。

已知二次函数y=x²-mx+m-1
①求证：不论m取何实数，函数的图像都与x轴有交点。
②设这个函数的图像与x轴交于B,C两点，与y轴交于点A，若三角形ABC的面积为28，求m的值
③设抛物线的顶点坐标为P，是否存在实数m，使三角形PBC为等腰直角三角形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。
小贴士：可分别求出二次函数图像与x轴的两个交点坐标····
写明过程，不要直接答案·

Answer 1

(1) 不论m取何实数，函数的图像与x轴有交点，指的是x^2-mx+m-1=0一定有解，
这个可以用判别式来证，因为△=（-m）^2-4(m-1)=4>0
所以x^2-mx+m-1=0有两个不同的实数根，因此命题成立。
（2） 设B(x1,0), C(x2,0), 则x1+x2=m ,x1*x2=m-1
令x=0, 则y=m-1， 所以A(0,m-1)
三解形ABC的面积=1/2*|x1-x2|*|m-1|=28
而|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=m^2-4(m-1)=(m-2)^2
所以|x1-x2|*|m-1|=|(m-2)(m-1)|=56
解得：m=-6, 或m=9
注： 实际上m还有两个带根号的解。
（3）由已知得抛物线的顶点坐标P(m/2,-(m-2)^2/4)
由于顶点到B,C的距离相等，所以要使PBC为等腰直角三角形，那么m≠2,只有∠BPC是直角
所以由几何性质得到(m-2)^2/4=|x1-x2|/2
从而(m-2)^2=2|x1-x2|=2|m-2|
解得m=0或m=4.

Answer 2

(1)令x²-mx+m-1=0判别式等于m^2-4(m-1)=(m+2)^2,平方永远大于等于零，方程有根，所以第一题得证
（2）假设B在C右侧，B(X1，0)C(X2，0)A(0，m-1)
S=0.5(X1-X2)*|m-1|=28
因为X1+X2=m,X1*X2=m-1
所以(X1-X1)^2=(X1+X2)^2-4*X1*X2=(m-2)^2
x1-x2=|m-2|
56=|m-1||m-2|
当m<1时，56=（1-m）（2-m）,m=9（舍）或-6
当1<=m<2,56=(m-1)(2-m),无解
当m>=2,56=(m-1)(m-2),m=9,或-6（舍）
即，m=9,-6
(3)过P做PD垂直bc于d，因为为等腰直角三角形，所以pd=1/2BC=1/2(X1-X2)=1/2|m-2|
因为由第一问知道P在x轴下方，纵坐标为负值
所以P(1/2m,-1/2|m-2|)
带入方程得m^2-4m+4=2|m-2|
（m-2）^2=2|m-2|
同时平方，（m-2）^4=4(m-2)^2
所以(m-2)^2=4
m=4或0

Answer 3

①x²-mx+m-1=0，,b^2一4ac=(m一2)^2>=0，即有实数根，不论m取何实数，函数的图像都与x轴有交点；
②由求根公式得A（0，m一1）,B(（m+|m一2|）/2，0),C(（m一|m一2|）/2，0),三角形ABC的面积为28，得（m一1）*（（m+|m一2|）/2一（m一|m一2|）/2）=28*2所以m=9；
③由顶点坐标公式得P（m/2，一(m一2)^2/4），因为三角形PBC为等腰直角三角形，所以(m一2)^2/4=（（m+|m一2|）/2一（m一|m一2|）/2）/2，得m=0，2,4；