Question

已知三角形ABC的三边a,b,c和面积S满足S=a2-(b-c)2，求tanA的值

Answer 1

解答：
S=a2-(b-c)2
(1/2)bcsinA=a²-(b-c)²
(1/2)bcsinA=(b²+c²-2bccosA)-(b²-2bc+c²)
∴ (1/2)bcsinA=-2bccosA+2bc
∴ sinA=4-4cosA
代入sin²A+cos²A=1
(4-4cosA)²+cos²A=1
17cos²A-32cosA+15=0
(cosA-1)(17cosA-15)=0
∵ cosA≠1，∴ cosA=15/17
∴ sinA=4-4*(15/17)=8/17
∴ tanA=sinA/cosA=8/15

Answer 2

S=(1/2)bcsinA
S=a^2-(b-c)^2
根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以 (1/2)bcsinA=b^2+c^2-2bccosA-(b^2+c^2-2bc)
(1/2)sinA=2-2cosA
cosA=1(三角形内角 舍去) 或者 cosA=15/17
sinA=8/17
得出tanA=sinA/cosA=8/15

Answer 3

S=a²-(b-c)²=1/2SinA SinA=2a²-2(b-c)² CosA=(b²+c²-a²)/2bc
tanA=sinA/cosA=4[a²-(b-c)²]/(b²+c²-a²)