Question

已知x.y为正实数，且2x＋8y-xy＝0求x＋y的最小值（解答时应写文字说明，证明过程或演算步骤）

Answer 1

解：可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理，得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x，使得上述方程成立，所以其判别式必定是非负数，即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+12K+36-32k≥0
K²-20K+36≥0
(K-2)(K-18)≥0·············①
因x、y均为正数，所以再由2x+8y-xy=0得：2(x+y)=xy-6y=y(x-6)>0，即：x-6>0，得：x>6，所以K=x+y>6，K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18，所以x+y的最小值为18。
此时求得：x=12，y=6。

Answer 2

有x,y大于0 得2/y+8/x=1 得x>8
x+y=x+2/(1-8/x)=x+2+16/(x-8)=(x-8)+16/(x-8)+10>=2*根号[(x-8)*(16/(x-8))]+10=18
既是当x-8=16/(x-8)时成立，既是x=12 y=6时 x+y有最小值18

Answer 3

2x+8y-xy=0
(x-8)(2-y)+16=0
(x-8)(y-2)=16
令a = x-8, b = y-2,则a*b=16 (因为x>0,y>0，故a>0,b>0，否则推出x=y=0)
(a+b)^2=a^2+2a*b+b^2>=4a*b* = 4*16=64
(a+b)>=8
即(x+y-10)>=8
x+y>=18
x+y最小值为18

Answer 4

令x+y=t，则y=t-x，然后带入方程，得到t=x^2-6x/(8-x)，再求t的值域就行了。

Answer 5

解： 2x+8y-xy=0y=2x/x-8 x+y=2x/x-8 +x =2+16/x-8 +x-8 +8 =10+16/x-8 +x-8 >=10+2(16)^1/2 =18最小为18