Question

设函数f（x）=e^X-1-x-ax^2，若a=0，求f（x）的单调区间。

若a=0，求f（x）的单调区间。

若当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）由f'(x)=e^x-1>=0解得
x>=0
故f(x)在（0，+∞）增 在（-∞，0）减
（2）f'(x)=e^x-2ax-1>=0
令g(x)=e^x-2ax-1
g'(x)=e^x-2a

当a<=1/2时
g‘(x)恒>=0
故f(x)在（0，+∞）增
故f(x)>=f(0)=0成立 满足条件

当a>1/2时
g'(x)=e^x-2a>=0解得
x>=ln2a
此时x=0时
1-2a<0
故f(x)先减后增
又f(0)=0
故不满足

Answer 2

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2
若a=1/2，求f(x)的单调区间
当a=1/2时，f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则，f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-x=(e^x-1)+x*(e^x-1)=(x+1)*(e^x-1)
则，当f'(x)=0时，有：x=-1，x=0
所以：
当x＜-1时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；
当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增。
若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 3

额