Question

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3

(1)求f(x)的解析式。
(2)若f(x)在区间【2a,a+1】上单调，求实数a的取值范围。
(3)在区间【-1,1】上，y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方，试确定实数m的取值范围。

Answer 1

解：∵f(x)为二次函数
f(0)=f(2)=3
∴对称轴为x=(0+2)/2=1
∵二次函数f(x)的最小值为1
∴设f(x)=a(x-1)²+1,a＞0
∵f(0)=3
∴a+1=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
=2x²－4x+3
(2) f(x)在区间[2a，a+1]上不单调，则由二次函数图象性质，对称轴在所给区间内，∴ 2a<1, a+1>1
即 0<a<1/2
(3)∵f(x)在区间[-1,1]上是单调递减
∴只要保证它的两个端点大于y=2x+2m+1即可
∴x=-1时，f(x)=9＞2m-1
x=1时，f(x)=1＞3+2m
∴m＜-1

Answer 2

解：（1）设f(x)=ax^2+bx+c,a/=0，
f(0)=f(2)=3，得对称轴为x=1。故得函数上三点坐标：(0,3)、(2,3)、(1,1)，代入方程有
c=3 a=2
4a+2b+c=3 解得 b=-4
a+b+c=1 c=3
故f(x)=2x^2-4x+3
（2）依题意有2a>=1或a+1=<1，且a+1>2a，
解得1/2<=a<1或a<=0。
（3）在[-1,1]上，f(x)递减，y=2x+2m+1递增，故要使条件成立，只要f(1)>2*1+2m+1即可，解得m<-1。

Answer 3

（1）设f(x)=a*x^2+b*x+c,将已知条件代入，解出a,b值
（2）求出f极值对应的x值x0，令2a>x0或a+1<x0
(3)令f(x)-2x+2m+1恒大于零

Answer 4

：∵f(x)为二次函数
f(0)=f(2)=3
∴对称轴为x=(0+2)/2=1
∵二次函数f(x)的最小值为1
∴设f(x)=a(x-1)²+1,a＞0
∵f(0)=3
∴a+1=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
=2x²－4x+3
(2)
f(x)在区间[2a，a+1]上不单调，则由二次函数图象性质，对称轴在所给区间内，∴
2a<1,
a+1>1
即
0<a<1/2

Answer 5

(1) f(x)=2x²-4x+3
(2) a<0或 1/2<a≤1
(3) m≤-5/4