Question

已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0+(a不等于0）的两根之比为1:2，求证2b²=9ac

Answer 1

不妨设两根为x1=k，x2=2k
则由根与系数的关系：x1+x2=3k=-b/a，x1x2=2k²=c/a
3k=-b/a，平方得：9k²=b²/a²，
又因为：2k²=c/a
两式相比得：9/2=b²/ac
即：2b²=9ac

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

x1+x2＝3k我懂 但为什么又＝-b/a

追答

这是二次方程根与系数的关系的公式啊，也就是所谓的韦达定理，应该已经学了啊
对于二次方程ax²+bx+c=0，若有两个根x1,x2
则根与系数的关系是：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a
这个韦达定理非常重要，到高中之后也经常要用的。

追问

哦 在书上看见了！

追答

懂了吧？

Answer 2

证明：∵ax²+bx+c=0
所以x1*x2=c/a
x1+x2=-b/a
x1：x2=1：2
所以：2x1²=c/a.......①
3x1=-b/a..........②
两式联立：2b²=9ac

如有疑问欢迎追问

Answer 3

由已知，设方程的两根x1=m，x2=2m m不为0
x1带入原方程得am2+bm+c=0 （1）
x2带入原方程得4am2+2bm+c=0 （2）
（2）-（1）得3am2+bm=0，即b= -3ma
（1）式乘以4 -（2）得2bm+3c=0，即c= -(2/3)mb=2m2a
b跟c都换成a的表达式之后，带入待证明的公式
左边=右边 等式成立

Answer 4

韦达定理：若有一元二次方程ax²+bx+c=0+(a不等于0）的两根为X1、X2，则X1+X2=-a/b，XI*X2=a/c(可以把两个求根公式相加相乘即得)

Answer 5

证明
X1*X2=c/a
X1+X2=-b/a
X1：X2=1：2得X2=2X1代入上两式得
2X1 ²=c/a
X1 ²=c/2a （1）
3X1=-b/a
X1=-b/3a
X1 ²=b²/9a² （2）
由（1）（2）得
b²/9a² =c/2a
2b²=9ac
得证