Question

在数列｛an｝中，已知a1=7/2,an=3a(n-1)+3^n-1(n≥2，n属于N*).

(1.)求证：｛（an-1/2)/3^n｝是等差数列。
（2.）求数列｛an｝的通项公式an及它的前n项和Sn。

Answer 1

证明：（1）∵an=3a[n-1]+3^n-1(n≥2，n属于N*). [n-1]为下标
∴（an-1/2)/3^n-（a[n-1]-1/2)/3^[n-1]=(3a[n-1]+3^n-1-1/2)/(3^n)-(a[n-1]-1/2)/(3^[n-1])
=1
∴数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=1,d=1的等差数列

解：（2）∵an-1/2)/3^n=1+（n-1）*1
∴an=n*3^n+1/2 n∈N+
先设bn=n*3^n，cn=1/2，另设数列{bn}的前n项和为Tn
然后用错位相减法来求Tn
Tn=1*3+2*3²+3*3³+……+n*3^n ①
3Tn= 1*3²+2*3³+……+(n-1)*3^n+n*3^(n+1) ②
②-①得Tn=(3/2n-3/4)*3^n+3/4

则Sn=Tn+1/2n=(3/2n-3/4)*3^n+3/4+1/2n n∈N+

追问

第1问有点乱，没看明白。

追答

咳 你在草稿纸上写一遍就明白了
可以设dn=（an-1/2)/3^n，那么现在是要求证数列{dn}为等差数列 对伐
那基本思路就是算dn-d[n-1]的值为定值且为此数列的公差
u试试看吧 就是要拼命化简化简 加油