定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(n...

定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.设A={(x,y)|f(x2)̶... 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1
. 设A={(x,y)|f(x2)•f(y2)>f(1) B={(x,y)|f(ax-y+根2)=1,a€R}若A交B=空集,试确定a的取值范围
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仨X不等于四
高粉答主

2012-10-01 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
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这是个大型组合题目……目测前面考抽象函数的技巧,后面又考了解析几何……
先不管后面集合交集那些,先把前面函数性质搞清楚。瞄一眼后面A集合和B集合的性质,如果做这种题做过一些会有感觉,比较f(a)、f(b)这类的a、b套在函数里面的东西,肯定要证明函数的单调性,比如单调递增的话,就可以直接从f(a)>f(b)得到a>b。还有类似的B里面左边是个f,右边是个孤立的1,因此还要算出f(?)=1才能进行我们单调性比较的思路。
总之第一步有两个任务:①研究f的单调性②算f(?)=1(只要算出一个f(a)=1了就不会有别的f(b)还等于1,这是单调性保证的)。
单调性就是比较,当x=a和a+p(p为正数)的时候的函数值,f(a+p)=f(a)f(p),说了0<f(x)<1,也就是f(p)在0、1之间,乘上f(a)必然使得值变小,也就是f(a)>f(a+p),就是自变量增加,函数值下降,是单调递减的。
f(?)=1,这个很容易猜0是不是满足,八成的题都是这么设定的。把m带成0,n随便取,那么f(n)=f(0)×f(n)所以f(0)只能=1,否则不可能对于所有的n都满足。果然猜对了,肯定是这样。

进入下一个环节,处理两个集合了。看看它们到底是什么。
根据单调性,A其实就是f(x²+y²)>f(1),是x²+y²<1的范围,单位圆内部。
B是f(ax-y+√2)=f(0)也就是ax-y+√2=0(我们已经说过不能有两个不同的值让f(x)同时等于1,这是单调性保证的)。这是个直线y=ax+√2,固定过(0,√2)点,斜率变化,也就是绕着这个点随便转动。

从此进入第三个环节,完全和函数神马的没关系了。这完全是一个解析几何问题,直线y=ax+√2何时与单位圆x²+y²=1无交点(只要和等于1的圆周相切或者无交点,别忘了相切,必然和内部没有交点)。
那就是直接做切线了。很容易看出M(0,√2)和圆心的距离是√2,圆半径是1,必然切线长是1,这是个等腰直角三角形,如果切点是P的话,PM=1而且∠PMO=45°(O是圆心,也就是原点)。因此两边分别做个45°斜向下就是切线,斜率的范围应该让直线在这两个切线上方,就是比斜向下45°要大,但是比斜向上35°要小,因此a的范围是[-√2/2,√2/2]就做完了。别忘了a=±√2/2是相切,只和圆周有交点,和内部没有,也是满足的,也要算上。

有什么不对劲的或者不懂的可以追问。
biaotou22
2012-10-01 · 超过19用户采纳过TA的回答
知道答主
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先对f(x)讨论:令m=n=0 f(m+n)=f(m)•f(n)可以得到f(0)=1或者f(0)=0
当f(0)=1时候,令m+n=0且m>0那么有1=f(m)f(n) 而当x>0时,0<f(x)<1所以x<0有f(x)>1
再令m>0,n>0那么显然m+n>m,f(m+n)/f(m)=f(n)<1所以当x>0时候,f(x)为减函数
再令m<0,n<0那么显然m+n<m, f(m)/f(m+n)=1/f(n)<1 所以当x<0时候,f(x)为减函数
当f(0)=0时候,令m+n=0且m>0那么有0=f(m)f(n)而当x>0时,0<f(x)<1所以x<0有f(x)恒为0
f(x2)•f(y2)=f(x2+y2)>f(1)
(1)当f(0)=1时候我们可以得到 0<x2+y2<1(这个是一个圆心在原点的单位圆) 或者x2+y2<0(显然矛盾,放弃).
而f(ax-y+根2)=1所以ax-y+根2<0 若A交B=空集观察A B的图形,我们可以得到当直线y=ax+根2在过(0,根2)和横轴平行的直线L1,过(0,根2)且和圆心在原点,半径为1的圆相切在第一象限直线L2之间时候,或者 过(0,根2)和横轴平行的直线L1,过(0,根2)且和圆心在原点,半径为1的圆相切在第二象限直线L2之间时候。A交B=空集。所以-1<=a<=1
(2)当f(0)=1时候,f(ax-y+根2)=1可以得到ax-y+根号2=0 这个是一条直线 .观察集合A B的图形,只要ax-y=0和圆不相交(可以相切)那么A且B是空集。所以-1<=a<=1
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