Question

物理上抛运动问题

以初速度V0竖直上抛一质量为m的物体，设空气阻力正比于速度，即F=-kv ，k为常数，试求物体上升额最大高度。表示不会积这个积分，谁能给出详细的积分过程

Answer 1

这个可以用两种方法来做：
第一种：V对t的导数等于负g加上F与m的比值，根据V的初值求出V关于t的函数，再求出V等于零的时候的t值，然后V关于t积分，求解微分方程需要用到一阶线性微分方程的求解；
第二种：S对t的二阶导数等于第一种方法的方程的右边，只不过把V换成s对t的一阶导数，再根据s一阶导数的初值和s的初值算出S关于t的函数，求函数的最大值就是最大高度，需要求解二院线性微分方程的求解。
这里写方程太麻烦，如果可以，加我QQ82842170

Answer 2

运算方便，根据实际情况忽略正负号。
（F+mg）ds=0.5md（v²）
（kv+mg）ds=0.5md（v²）
（kv+mg）ds=mdv

ds=mdv/(kv+mg)
ds=（m/k）*d（v+mg/k）/（v+mg/k）

所以h=（m/k）ln（v0+mg/k）

希望对你有帮助，有疑问请追问O(∩_∩)O哈哈~

追问

我还没看过程，不过这个答案不对。答案是 mv0/k+((m^2*g)/（k^2))*In((mg)/(mg+kv0))

追答

上面过程少了个v
（kv+mg）ds=mvdv

ds=（m/k）*（v+mg/k-mg/k）d（v+mg/k）/(v+mg/k)
ds=（m/k）*dv-（m²g/k）d（v+mg/k）/(v+mg/k)
两边积分：h=mv0/k-[ln（v0+mg/k）-ln（mg/k）]
也就是h=mv0/k+ln[mg/(mg+kv0)]

追问

更接近了，不过还是差点，In(mg/mg+kv0)前面还应该有个系数（m^2*g)/(k^2)，不过感觉方法是对的，我先试试

追答

不好意思，身边没有笔，都是直接打字的，所以老是漏掉。
你自己把过程算一遍，应该是对的^_^

Answer 3

设高度为x(t),则速度为x'(t),加速度为x''(t),受力-mg-kx'
从而根据牛顿第二定律有：-mg-kx'=mx''
即：mx''+kx'+mg=0
然后解此微分方程
对应的特征方程：mλ^2+kλ=0 λ=0 λ=-k/m
通解部分：x=C1+C2e^(-kt/m) 不做了，太费时间，参考相关书籍

Answer 4

首先空气阻力是和速度的平方成正比的
这个解答手写还行。打不出来

追问

题目中空气阻力和速度成正比，就当它成正比好了

Answer 5

我们班积分高手都不是很会，建议大学高手或专业人士来算。