Question

求证:y=x+4/x 在区间(2,正无穷]为单调递增

Answer 1

令x1,x2∈(2,正无穷)
且x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1+4/x1-x2-4/x2
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(1-4/(x1x2))
由于x1,x2∈(2,正无穷)
x1x2>4
4/(x1x2)<1
所以
f(x1)-f(x2)<0

故是增函数

Answer 2

证明：
设x2>x1>2
则f(x2)-f(x1)=x2+4/x2-x1-4/x1
=(x2-x1)+(4x1-4x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-4/(x1x2))
因为x2>x1>2
则x2-x1>0
4/(x1x2)<1
则1-4/(x1x2)>0
所以f(x2)-f(x1)>0
则函数为增函数

Answer 3

设2<x1<x2
x1+4/ x1-(x2+4/ x2)=[4/(x1*x2)-1]*(x2-x1)
因为2<x1<x2 所以4/(x1*x2)<1
则x1+4/ x1-(x2+4/ x2)<0
x1+4/ x1<x2+4/ x2
函数在(2,正无穷]单调递增

Answer 4

y'=1-4/x²
x>2时
y'>1-4/4=0
所以在区间(2,正无穷]为单调递增