Question

已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且 交圆O于点F，连接BC，CF，AC

已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且
交圆O于点F，连接BC，CF，AC
（1） 求证；BC=CF
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长
（3）求证 AF+2DF=AB

Answer 1

1、∵AB为圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵AD⊥EC
∴∠ADC=90°
∵CE是圆O的切线
∴∠DCF=∠DAC
∵F、A、B、C四点共圆
∴∠DFC=∠ABC
∴Rt△CDF∽Rt△ABC
∴∠DCF=∠BAC
∴∠BAC=∠DAC=∠FAC
∴BC=CF
2、∵AD=6，DE=8，
∴AE=10(勾股定理）
∵∠ECB＝∠EAC
∴△EBC∽△ECA
∴BE/EC＝BC/AC
∵∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴DC/BC＝AD/AC
∴DC/AD＝BC/AC
∴BE/EC＝DC/AD
BE/EC=(DE-EC)/AD
EC×(8-EC)=6BE
由切割线定理：EC²=BE×AE=10BE，BE=EC²/10
∴8EC-EC²=3/5EC²
40EC=8EC²
EC=5(EC=0舍去）
∴BE=EC²/10=5²/10=2.5
3、延长BC与AD的延长线交于G
∵∠DAC=∠BAC
∠ACB=90°即AC⊥BC
∴△ABG是等腰三角形
∴AB=AG=AF+FG
∵∠BCE=∠DCG=∠BAC=∠DCF
∴∠DCG=∠DCF
∵CD⊥AD(AD⊥EC)
∴△FCG是等腰三角形
∴CD是中线
∴DF=DG=1/2FG
即FG=2DF
∴AB=AF+2DF

Answer 2

• 补个图

Answer 3

第一个问题：
∵CE切⊙O于C，∴OC⊥CE，又AD⊥CE，∴OC∥AD，∴△ADE∽△OCE，
∴AD/OC＝AE/OE，∴AD/AE＝OC/OE，而OA＝OC，∴AD/AE＝OA/OE。
∵OC∥AD，∴OA/OE＝CD/CE，∴AD/AE＝CD/CE，∴∠FAC＝∠BAC，又A、B、C、F共圆，
∴BC＝CF。

第二个问题：
由勾股定理，有：AE＝√（AD^2＋DE^2）＝√（36＋64）＝10。
由三角形内角平分线定理，有：CD/CE＝AD/AE＝6/10＝3/5，∴（CD＋CE）/CE＝（3＋5）/5，
∴DE/CE＝8/5，∵CE＝5DE/8＝5×8/8＝5。
由弦切线定理，有：BE×AE＝CE^2，∴BE＝CE^2/AE＝25/5＝5。

第三个问题：
延长AD至G，使DF＝DG。
∵DF＝DG、CD⊥FG，∴CF＝CG，又CF＝BC，∴∠AGC＝∠CFD。
∵A、B、C、F共圆，∴∠CFD＝∠ABC，∴∠AGC＝∠ABC，而∠CAG＝∠CAB、AD＝AD，
∴△ACG≌△ACB，∴AG＝AB。
显然有：AG＝AF＋FG＝AF＋2DF，∴AF＋2DF＝AB。