Question

一道高一数学题 PS:请写出过程

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n满足f(1/2)=2,且f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x>-1/2时f(x)>0
求证:f(x)在定义域R上单调递增

Answer 1

单调递增定义法
任意x<y且x∈R y∈R
有f(y)=f(x)+f(y-x)-1=f(x)+[f(y-x-1/2)+f(1/2)-1] -1= f(x)+f(y-x-1/2)
y>x ==> y-x>0 ==> y-x-1/2>-1/2 ==> f(y-x-1/2)>0
所以f(y)>f(x)
f(x)在定义域R上单调递增

Answer 2

因为f(m+n)=f(m)+f(n)-1，所以f(x+Δx)=f(x)+f(Δx)-1
所以f(x+Δx)-f(x)=f(Δx)-1，问题变为证明Δx趋向于+0时有f(Δx)>=1，即f'(0)>=0.由题得：f'(x)=f'(-x).因为当x>-1/2时f(x)>0且f(-1/2)=0,所以f'(-1/2)>=0,f'(1/2)>=0.令f(m+n)中m=x(变量)，n=-1/2,则f(x-1/2)=f(x)-1,两边求导得：f'(x-1/2)=f'(x),令x=1/2可得：f'(0)=f'(1/2)>=0,所以f(x)在定义域R上单调递增