Question

数学提问

1.如图1，△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角<CAE的平分线。（1）用尺规作图方法，作<ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写做法和证明）
（2）设DN与AM交于点F判断△ADF的形状，并说明理由。

2.如图2，在△ABC中AB=AC，点F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF 求证：EF⊥BC

3.如图3，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F，猜想C与BD的位置关系，并证明你的结论。

4.如图4，点A.B.D.E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF，<C=<F.求证：AC=EF.

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Answer 1

1.（2）△ADF为等腰直角△
理由如下：∵AB=AC ∴∠B=∠C
又AM是△ABC外角∠CAE的平分线
所以∠MAC=∠C 所以AM平行BC
∵AD是高 ∴AD⊥AM
∵∠ADC的平分线为DN ∴∠ADN=45°
∴△ADF为等腰直角△
2.过点A作EF的垂线AM
∵AB=AC ∴∠B=∠C 又AM⊥EF，AE=AF ∴∠C=∠MAF
∴AM平行BC
3.点C在BD的垂直平分线上
4.∵AD=EB ∴AD-BD=EB-BD 即AB=ED
∵BC∥DF ∴∠ABC=∠EDF
又∠C=∠F ∴△ABC全等△EDF ∴AC=EF

不懂可追问

Answer 2

(1)是等腰直角三角形。因为角ADC是直角。DF平分后一半是45度
角EAC=角B+角C AM平分角EAC 所以角C=角MAC MA平行于BC
角MAD是直角 得出△ADF是等腰直角三角形
（2）作AM垂直于BC于M点 因为AB=AC 所以 角MAC=角BAM
角BAC是一个外角=角E+角AFE
角E和角AFE相等 （因为AE=AF)
所以角E=角BAM
所以AM平行于ED
ED垂直于BC
(3)C是等腰三角形CBD的顶点 CF垂直于BD
BC=CD(因为是等边三角形平移)
角BCF=角DCF=60 度 所以 CF垂直于BD
（4)因为AD=BE 两边同时减BD 得AB=DE
因为BC平行于DF 角CBD=角FDE 角CBA=角FDE
又因为角C=角F
所以三角形ABC全等于三角形EDF
得出AC=EF