Question

如图已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PD=m，记二面角D-PB-C的大小θ，若θ<60度，求m的取值范围

求详细解答步骤。

Answer 1

 

原图补成立方体，即m＝2 此时正⊿ACC'⊥PB.二面角A-PB-C＝120º   D-PB-C＝60º

P上移时，D-PB-C变小。∴θ＜60º，要求m＞2.

Answer 2

解：

C在平面PDB上的投影为，AC与BD的交点O。
(因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥OC，又正方形内OD⊥OC；所以OC⊥面BPD；所以……)

过C做CF⊥BP交BP于F，则∠CFO为二面角D-PB-C；

θ<60，则sinθ=OC/FC<sin60°=√3/2

OC=√2
(因为BC⊥CD，PD⊥BC，所以BC⊥面CDP，所以BC⊥PC，△BCP是直角三角形)
FC=BC*CP/PB=2*√(m^2+4)/√(m^2+8)

sinθ=OC/FC=√(m^2+8)/[√2*√(m^2+4)]<√3/2
(m^2+8)/(m^2+4)<3/2
2(m^2+8)<3(m^2+4)
m^2>4
m>2

答：若θ<60度，m的取值范围是m>2。