Question

椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-√3,0)和F2(√3,0),且椭圆过点(1,-√3/2)

椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-√3,0)和F2(√3,0),且椭圆过点(1,-√3/2)
（1）求椭圆方程；
（2）过点（-6/5，0）作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由。

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Answer 1

（1）c=√3，∴a^2=b^2+3,
∴椭圆方程为x^2/(b^2+3)+y^2/b^2=1,
它过点（1，-√3/2），
∴1/（b^2+3)+(3/4)/b^2=1,
去分母得4b^2+3(b^2+3)=4b^2(b^2+3),
整理得4b^4+5b^2-9=0,
∴b^2=1,
∴椭圆方程为x^2/4+y^2=1.
(2)A(-2,0),设l:x=my-6/5,①代入上式得
m^y^-12my/5+36/25+4y^=4,
(m^+4)y^-12my/5-64/25=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=12m/[5(m^+4),y1y2=-64/[25(m^+4)],
向量AM*AN=(x1+2,y1)*(x2+2,y2)
=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=(my1+4/5)(my2+4/5)+y1y2（由①）
=(m^+1)y1y2+(4m/5)(y1+y2)+16/25
=[-64(m^+1)+48m^+16(m^+4)]/[25(m^+4)]
=0,
∴∠MAN=90°，为定值。