Question

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x<0)，若f(-1)=0...

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x<0)，若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0,+∞），求F(x)的表达式

Answer 1

解：由f(-1)=0得a-b+1=0;
若a=0，得b=1
∴f(x)=x+1
函数f(x)的值域为(-∞,+∞），与已知矛盾
∴a≠0，函数f(x)=ax2+bx+1为二次函数
∵函数f(x)的值域为[0,+∞），即函数f(x)的顶点的纵坐标为0。
∴（4a-b^2）/4a=0 注
∵a≠0
∴4a-b^2=0
解得a=1,b=2
∴f(x)=x^2+2x+1.
∴F(x)=f(x)=x^2+2x+1(x>0)
F(x)=-f(x)=-x^2-2x-1(x<0)
注：二次函数f(x)=Ax^2+Bx+C的顶点的纵坐标为（4AC-B^2）/4A,代入 A=a,B=b,C=1得（4a-b^2)/4a=0

Answer 2

f(-1)=0可得a-b+1=0;
函数f(x)的值域为[0,+∞）,则有函数f(x)的顶点的纵坐标为0,即可得b^2=4a联合解得a=1,b=2;
所以f(x)=x^2+2x+1.
所以F(x)=f(x)=x^2+2x+1(x>0)
F(x)=-f(x)=-x^2-2x-1(x<0)

追问

为什么函数f(x)的顶点的纵坐标为0呢？