Question

（1）如图在三角形ABC中已知AB=AC,P是BC边上任意一点，PM┴AC,PE┴AB，垂直分别是M，E。BH┴AC于点H，

那么PM＋PE=BH你能证明吗？
（2）若三角形ABC变为等腰梯形ABCD，如图P是底边BC边上一点，PM┴CD于M,PE┴AB于E，则PM＋PE的值是否等于腰上的高？若成立，给出证明‘若不成立，说明理由。

Answer 1

第一个问题：
过P作PF⊥BH交BH于F。
∵PF⊥BH、CH⊥BH，∴PF∥CH，∴∠BPF＝∠C。
∵AB＝AC，∴∠PBE＝∠C，∴∠PBE＝∠BPF，又∠PEB＝∠BFP＝90°、BP＝PB，
∴△PBE≌△BPF，∴PE＝BF。

∵PM⊥HM、PF⊥FH、FH⊥HM，∴PFHM是矩形，∴FH＝PM。
显然有：BF＋FH＝BH，∴PE＋PM＝BH。

第二个问题：PM＋PE＝腰上的高。
延长BA、CD相交于G。
∵ABCD是以BC为底边的等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴△GBC是以BC为底边的等腰三角形，
由第一个问题的结论，自然有：PM＋PE＝腰上的高。