Question

设函数f(x)=x²-4x-4，x∈〔a,a+1〕，求函数f(x)的最值 询详解，谢谢

为什么要分成a≥2，a≤1，1＜a≤3/2，3/2＜a≤2？

Answer 1

这题需要分类讨论，就是看函数图像的对称轴在不在区间 [a ，a+1] 内 。
f(x)=(x-2)^2-8 ，对称轴 x=2 ，开口向上。
1）若 2< a ，则 f(x) 在 [a，a+1] 上单调递增，因此最小值为 f(a)=a^2-4a-4 ；
2）若 a<=2<a+1 ，即 1<a<=2 ，则 f(x) 最小值为 f(2)= -8 ；
3）若 a+1<=2 即 a<=1 ，则函数在 [a，a+1] 上为减函数，因此最小值为 f(a+1)=a^2-2a-7 。

综上，函数的最小值为 min=｛a^2-2a-7(a<=1) ；-8(1<a<=2) ；a^2-4a-4(a>2) 。
（分段的，写成三行，前面加一个大括号。）

追问

四种情况，还有种呢

追答

最小值就这三种情况。
求最大值时，两种情况就可以了：a=3/2 ，
结果如下：当 a=3/2 时，max=f(a+1)=a^2-2a-7 。

因为抛物线开口向上，而区间长度为 1 ，
所以只须考虑区间的中点（也就是 a+1/2 ）是在 2 的左侧还是右侧就可以了。

追问

你和老师的答案不一样。。

追答

你可以和你老师的答案对照一下，应该在本质上是一样的。或者你把我的答案与你老师的交流下，看他作何解释。

追问

还有个1＜a≤3/2，3/2＜a≤2，你是直接a<=2<a+1 ，即 1<a<=2

追答

求最小值时，这两种情况可以合并，区间内有对称轴，此时函数的最小值就在对称轴处取 。

Answer 2

把前两项化成完全平方差,最小值为-8