Question

f(x)=x|x|+sinx在x=0处的导数存在的最高阶数是

貌似答案是1 为什么？

Answer 1

是的，答案就是1
在x大于等于0时，f(x)=x² +sinx，那么其导数f '(x)=2x +cosx，
所以x趋于0时，f(x)在x=0处的右导数为cos0=1，
而在x小于等于0时，f(x)= -x² +sinx，那么其导数f '(x)= -2x +cosx，
所以x趋于0时，f(x)在x=0处的左导数也为cos0=1，
因此f(x)在x=0处的左右导数相等，故f(x)在x=0处存在一阶导数

而在x大于等于0时，f ''(x)=2 -sinx
在x小于等于0时，f ''(x)= -2 -sinx

故在x趋于0时，f(x)的二阶导数的左右极限不相等，
所以在x=0处f(x)的二阶导数不存在

因此f(x)=x|x|+sinx在x=0处的导数存在的最高阶数是1