Question

设f(x)在区间[0,1]上可导，f(0)=0,0<f'(x)≤1.证：{∫(0,1)f(x)dx}²≥∫(0,1)f³(x)dx

Answer 1

在[0,1]上，因为f'(x)>=0, 同时 f(0)=0, ==> f(x)>=0

设 g(t)=2∫(0,t)f(x)dx - f^2(t), 0<= t<=1.
g'(t) =2f(t)-2f(t)f'(t)=2f(t)(1-f'(t))>=0, g(0)=0, 所以 对一切0<= t<=1， g(t)>=0

令 h(t)={∫(0,t)f(x)dx}² - ∫(0,t)f³(x)dx, 则 h(0)=0,
h'(t)=2f(t) ∫(0,t)f(x)dx-f^3(t)=f(t) g(t) >=0, ()
所以 h(t)>=0 对一切0<= t<=1都成立。
于是 h(1)>=0 即结论成立。