Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=-x^2+2x+3与x轴交于A、B两点

在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

祝学习进步，望采纳

Answer 2

1）解方程-x²+2x+3=0，
(x-3)(x+1)=0,
x1=-1,x2=3
所以A(-1,0),B(3,0)
当x=0时，y=3
所以C(0,3)
又y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
所以D(1,4)
设过A,C的直线为y=kx+b，则
-k+b=0，
b=3
解得k=3
所以直线AC为：y=3x+3
2)存在，P(1,0)
抛物线的对称轴为x=1,C关于x=1的对称点为Q（2.3）
又PQ∥AC
设直线PQ=3x+b,
将（2，3）代人，得，
b=-3
所以直线L：y=3x-3
所以P(1,0)
3)B关于AC的对称点B'(-21/5,12/5),连B'D,交AC于点M
设直线B'D为y=kx+b,则
(-21/5)k+b=12/5
k+b=4
解得k=4/13,b=48/13
所以y=(4/13)x+48/13
解方程组，
y=3x+3
y=(4/13)x+48/13
得x=9/35
y=132/35
所以M(9/35,132/35)
此时△BDM的周长最小

Answer 3

第二问满足条件的点有三个：Q1(2，3),Q2(1+根号7，-3)，Q3(1-根号7，-3)

Answer 4

(1)令y=0
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-1=4
(x-1)^2=4
x=3或x=-1
所以A(-1，0)
B(3，0）
令x=0
所以y=3
所以C(0,3）
设解析式为y=kx+b
把A，B带入解析式
得 y=3x+3
把x=2带入
y=3
所以D（2，3）