Question

已知定义在[-1,1]上的函数f(x)满足（f(x1)-f(x2)）/（x1-x2）＜0（x1≠x2）,且对于任意x,y属于[-1.1]

已知定义在[-1,1]上的函数f(x)满足（f(x1)-f(x2)）/（x1-x2）＜0（x1≠x2）,且对于任意x,y属于[-1.1]，f(x+y)=f(x)+f(y)
1 求证 f(x)是奇函数
2 解不等式 f(1+x)+f(2x+1)＞0

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Answer 1

1.由f(x+y)=f(x)+f(y)可得：f(0)=f(0)+f(0);f(0)=0.可知该函数过原点。然后f(x-x)-f(-x)=f(x);f(0)-f(-x)=f(x);f(-x)=f(x).所以该函数在[1,1]上是奇函数。
2.因为（f(x1)-f(x2)）/（x1-x2）＜0（x1≠x2）,即斜率K<0,所以该函数是减函数。所以
f(1+x)+f(2x+1)＞0的解为；
所以1+x+2x+1<0
3x+2<0
x<-2/3