Question

数列｛an｝中，a1=2,a(n+1)=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2,3，…），且a1,a2,a3成等比数列

（1）求c的值
（2）求｛an｝的通项公式
（3）证明数列｛（an-c）/n｝是等差数列

Answer 1

根据a1，a2，a3成等比数列得出
a1=2
a2=a1+c=2+c
a3=a2+2c=2+3c
由于a1，a2，a3成等比数列
所以，a1/a2=a2/a3
2/(2+c)=(2+c)/(2+3c)
c^2+4c+4=4+6c
c^2-2c=0
c=0或者2，由于c不为0，因此
（1）c=2
（2）由a(n+1)=an+2n，可得出a(n+1)-an=2n，因此
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
................
a2-a1=2
a1=2
把上面全部相加得出
a(n)=2*(1+2+3+.......+n-1)+2
=2*(n*(n-1))/2+2
=n^2-n+2
（3）数列｛（an-c）/n｝，变换出来得出｛（an-2）/n｝=｛（n^2-n+2-2）/n｝=｛n-1｝，
因此新数列｛（an-c）/n｝的通项公式为n-1，
明显为等差数列。