Question

已知幂函数f(x)=x^(-2m^2+m+3) (m∈Z)为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式
（2）若g（x）=log以a为底 [f（x）-ax] 的对数 （a＞0且a≠1）在区间 [2,3] 上为增函数,求实数a的取值集合
求过程，谢谢

Answer 1

（1） ∵ m∈Z， ∴ -2m^2+m+3 ∈ Z 且根据已知条件必为 正偶数。
解方程 -2m^2+m+3 = 0 得 m1= -1 ， m2 = 1.5 。
所以使该方程大于0 的 整数只有 0，1 。
分别代入知 1 为满足条件的解。
故 m = 1 ，f（x）＝x＾2．（经验证，满足条件）
（2）取 2 ≦ x1 ≦ x2 ≦ 3 ，g(x) = log以a为底 [ x^2-ax] 的对数 （a＞0且a≠1）。
分类讨论：
1） 0 ＜a＜1 时， 由增函数及对数性质知 ： (x1)^2-a(x1) ≧ (x2)^2-a(x2) .
化简得 （x1-x2）（x1+x2-a）≧ 0 .
∵ x1 ≦ x2 ，∴ x1+x2-a ≦ 0，即 a ≧ x1+x2 ≧ 4 ，矛盾。
2）a＞1 时，由增函数及对数性质知 ： (x1)^2-a(x1) ≦ (x2)^2-a(x2) .
化简得 （x1-x2）（x1+x2-a）≦ 0 .
∵ x1 ≦ x2 ，∴ x1+x2-a ≧ 0，即 a ≦ x1+x2， 故 a ≦ min(x1+x2) = 4 。
综上所述，实数a 的取值范围为 （1，4] 。