Question

已知定义在(0,正无穷大)上的函数f(x),对任意x,y∈(0,正无穷大)

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0＜x＜1时，f(x)＞0。证明：当x＞1时，f(x)＜0。判断f(x)的单调性并加以证明

Answer 1

令 x=y=1，由 f(xy)=f(x)+f(y) 有
f(1)=f(1)+f(1)，得 f(1)=0
令 y=1/x 得 f(x)+f(1/x)=0
即 f(x)=-f(1/x)
对任意 x>1, 有 0<1/x<1 ，由题意 f(1/x)>0
则 f(x)=-f(1/x)<0

对任意 y>x>0
因为 x/y<1
所以 0<f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
即 f(x)>f(y)
所以 f(x) 在（0，正无穷大）上单调递减。