Question

函数f(x),g(x)在区间[a.b]上都有意义,且在此区间上满足 f(x)为增函数且f(x)>0 g(x)为增函数且g(x)<0

判断f(x)*g(x)在[a,b]上的单调性，并给出证明。

这里g(x)也为增函数！！！

Answer 1

设h(x)=f(x)*g(x)
在[a,b]上任取x1，x2，使△x=x1-x2＜0
△y=h(x1)-h(x2)
=f(x1)*g(x1)-f(x2)*g(x2)
∵f(x)在[a,b]上单调递增
∴0＜f(x1)＜f(x2)
∵g(x)在[a,b]上单调递增
∴g(x1)＜g(x2)＜0
∴△y＞f(x2)*g(x1)-f(x2)*g(x2)=f(x2)[g(x1)-g(x2)]>0
∴h(x)在[a，b]上单调递减
即f(x)*g(x)在[a,b]上单调递减

追问

倒数第三行 最右边应该是＜0
是没法比较的

Answer 2

f(x)g(x)在[a,b]上的单调性无法确定；各种情况都有可能；
举反例如下：
f(x)=2x+1; g（x)=x, x∈[-3/8,-1/8]
显然都符合你题目的条件；
但是积函数f(x)g(x)=2x²+x=2(x+1/4)²-1/8;
在[-3/8,-1/8]上不是单调函数；
而是在[-3/8,-1/4]上是减函数，在[-1/4,-1/8]上是增函数；
所以已知两个函数的单调性，它们的积函数的单调性不能确定。