Question

如图，在三角形ABC中，角C等于90度，AC等于BC，BD平分角ABC，AD垂直于BD，BD交AC于点F，求证BF=2ad

Answer 1

 

提示：延长AD、BC相j交于E，

容易知道∠DBA＝∠DBE,DB=DB,∠BDA＝∠BDE＝90°,∴△BDA≌△BDE(ASA),这样AD=DE=½AE;下一步，往证∠DAC＝90°－∠AFD＝90°－∠BFC＝∠CBF,∠ACE＝∠BCF＝90°,CA＝CB,∴△ACE≌△BCF﹙ASA﹚∴BF＝AE＝2AD

Answer 2

证明：延长AD交BC的延长线于点F
∵∠ACB＝90
∴∠CBE+∠CEB＝90, ∠ACF＝∠ACB＝90
∵AD⊥BD
∴∠BDA＝∠BDF＝90
∴∠CAF+∠AED＝90
∵∠CEB＝∠AED
∴∠CAF+∠CEB＝90
∴∠CBE＝∠CAF
∵AC＝BC
∴△CBE≌△CAF （ASA）
∴BE＝AF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∵BD＝BD
∴△FBD≌△ABD （ASA）
∴AD=FD=AF/2
∴AD＝BE/2
∴BF＝2AD