Question

证明函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界？？？

证明函数f（x）在X上有界的充分必要件是它在X上既有上界又有下界？？？

Answer 1

必要性：
已知f(x)在X上有界，则存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|<M
因此-M<f(x)<M，则f(x)既有上界又有下界。
充分性：
已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且b>a，使得f(x)<b，且f(x)>a
（1）若|b|>|a|，则b>0，且-b<a成立，
因此-b<a<f(x)<b，得|f(x)|<b，因此f(x)有界。
（2）若|a|>|b|，则a<0，因此-a>0，得-a>b，
因此a<f(x)<b<-a，得|f(x)|<-a，得f(x)有界。

Answer 2

是啊