Question

已知函数f(x)=x/（x-1） （1）用函数单调性定义证明f(x)=x/（x-1）在(1,+∞)上是单调减函数

已知函数f(x)=x/（x-1）
（1）用函数单调性定义证明f(x)=x/（x-1）在(1,+∞)上是单调减函数
（2）求函数f（x）=x/（x-1）在区间[3，4]上的最大值与最小值

Answer 1

已知函数f(x)=x/(x-1)
(1)用函数单调性定义证明f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数
x≠1
x1<x2 x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=x1/(x1-1)-x2/(x2-1)
=[x1(x2-1)-x2(x1-1)]/[(x2-1)(x1-1)]
=-(x1-x2)/[(x2-1)(x1-1)]
x1>1
x1-x2<0
(x2-1)(x1-1)>0

f(x1)-f(x2)>0

f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数

(2)求函数f(x)=x/(x-1)在区间[3,4]上的最大值与最小值
f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数
f(3)=3/(3-1)=3/2 最大值
f(4)=4/(4-1)=4/3 最小值

Answer 2

已知函数f(x)=x/(x-1)
(1)用函数单调性定义证明f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数
在(1,+∞)区间内取x1<x2则x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=x1/(x1-1)-x2/(x2-1)
=[x1(x2-1)-x2(x1-1)]/[(x2-1)(x1-1)]
=-(x1-x2)/[(x2-1)(x1-1)]
x1>1
x1-x2<0
(x2-1)(x1-1)>0
即f(x1)-f(x2)>0
故f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数
(2)求函数f(x)=x/(x-1)在区间[3,4]上的最大值与最小值
f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函数
f(3)=3/(3-1)=3/2 最大值
f(4)=4/(4-1)=4/3 最小值