Question

导数求函数单调性的原理是什么啊。

求证：函数f（x）在某区间可导，若f‘（x）>0则f（x）在此区间递增，反之则递减。

Answer 1

对此区间的任意两点a<b，由Lagrange中值定理，存在c位于(a，b)，使得
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
现在f'(c)>0，b--a>0，因此
f(b)>f(a)。
由于a，b是任意的，由定义，f(x)在此区间上递增。
当f'(x)<0时由上面的证明过程可以看出此时f(x)是递减的。

Answer 2

由导数定义，f'(x)=lim(⊿x→0)[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x，得
当f'(x)>0时，在x点的附近，有[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x>0
即 f(x+⊿x)-f(x) 与⊿x同号，从而 f(x)是增函数。

Answer 3

1、导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).
如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x
2、 导数的几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）表示函数曲线在P0[x0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率

按照定义，导数为lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x，导数＞0则f(x0+△x)-f(x0)＞0，所以是增函数，反之减函数。从几何意义看更明显