Question

1.设lim(x→无穷大)Xn=a 试用数列极限定义证明lim(n→无穷大)（x1+x2+...+xn）/n=a

2.设xn>o,且lim(n→无穷大)xn=a 试证lim(n→无穷大)（x1+x2+...+xn）的n分之一次方=a

Answer 1

1.lim(x→∞)xn=a，对ε>0,存在N1,当n>N1时有：|xn-a|<ε .
|(x1+x2+...+xn)/n-a|《（|x1-a|+|x2-a|+...+|xN1-a|+|x(N1+1)-a|+,,,+|xn-a|)/n
因为xN1为定值，故前面的N1项满足：lim(|x1-a|+|x2-a|+...+|xN1-a|)/n=0，故存在N2，当n>N2时，有：(|x1-a|+|x2-a|+...+|xN1-a|)/n<ε.后面的n-N1项，每一项都小于ε，于是：
|(x1+x2+...+xn)/n-a|《（|x1-a|+|x2-a|+...+|xN1-a|+|x(N1+1)-a|+,,,+|xn-a|)/n
<ε+(n-N1)ε/n<2ε.所以：lim(x→∞)（x1+x2+...+xn)/n=a

2.题目有点问题？取xn=a,(x1+x2+...+xn)^(1/n)=(na)^(1/n)趋于1