Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β）且0＜α＜β，求不等式cx²+bx+a＜0的解集

一定要对啊！！

Answer 1

由题可知等式ax²+bx+c=0的两根为α、β
且a<0，b>0，c<0(这一步不要问我怎么得来的，自己画画图就知道了)
两根和α+β=-b/a
两根积αβ=c/a

设等式cx²+bx+a的两根为x1，x2
则x1+x2=-b/c=(α+β)/αβ=1/α+1/β
x1x2=a/c=1/αβ=1/α*1/β
所以x1=1/α，x2=1/β，且0<1/β<1/α
继续画图，可知cx²+bx+a<0时
x>1/α或x<1/β

所以cx²+bx+a<0的解集为{x|x>1/α}U{x|x<1/β}
像这种题目画图法永远是最好的选择。

Answer 2

0＜α＜x<β时,0<ax^2+bx+c. 抛物线y=ax^2+bx+c开口向下. a<0.

x=α或x=β时, 0 = ax^2+bx+c.
x<α或x>β时, 0>ax^2+bx+c.

x>β时, 0>ax^2+bx+c, 0>a+b/x+c/x^2, 0<1/x<1/β时, 0>a+b/x+c/x^2,
0<t<1/β时, 0>a+bt+ct^2.

0<x<α时, 0>ax^2+bx+c, 0> a+b/x + c/x^2, 0<1/α<1/x时, 0> a+b/x + c/x^2.
0<1/α<t时, 0> a+bt+ct^2.

t=0时, a+bt+ct^2=a<0.
x<0<α时, 0>ax^2+bx+c, 0>a+b/x+c/x^2, 1/x<0时, 0>a+b/x+c/x^2,
t<0时, 0>a+bt+ct^2.

0>a+bt+ct^2的解集为{t|t>1/α}U{t|t<1/β}
所以,
0>a+bx+cx^2 的解集为{x|x>1/α}U{x|x<1/β}

Answer 3

由题意知a<0
-b/a=α+β b=-a(α+β)
c/a=αβ c=a*αβ
cx2+bx+a＜0
a*αβx^2-a(α+β)x+a＜0 同除以a（a<0）
αβx^2-(α+β)x+1＞0
(αx-1)(βx-1)>0
因为0＜α＜β
所以1/α＞1/β
所以x＜1/β或x＞1/α