Question

不同特征值的特征向量线性无关，怎么证明呢？

不同特征值的特征向量线性无关，怎么证明呢？说一下思路吧！

Answer 1

设ai是λi的特征向量，i=1，2，...，m且i不等于j时，λi不等于λj
设他们的一个线性表示
k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用A左乘
A（k1a1+k2a2+..._+kmam）=A0
λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0 因为Aai=λiai，再乘A，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故记
11...1
λ1λ2...λm
...
λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1)
为B^T，显然其行列式不为零(范德蒙德行列式）
显然有(k1a1,k2a2,...,kmam)B=0
因为B行列式不为零，故B可逆
(k1a1,k2a2,...,kmam)=0
故kiai=0,i=1,2,..,m
因为ai不等于0，故ki=0,i=1,2...,m
故线性无关。

Answer 2

用反证法，假设线性相关，必然有一个向量可以用其他向量表示，可以推出矛盾，你可以试下